మనుష్యులలో రకరకాల మనుష్యులు ఉన్నట్లే అంకెలలో రకరకాల అంకెలు ఉన్నాయి. ఈ రకాలని, వీటి పేర్లని ఇప్పుడు కొంచెం పరిశీలిద్దాం.
చరిత్రని దృష్టిలో పెట్టుకు చూస్తే మొట్టమొదట లెక్క పెట్టుకోటానికి పనికొచ్చే అంకెలు మనకి తారసపడి ఉంటాయి. వీటిని మనం 1,2,3... అని రాస్తాం. గణిత పరిభాషలో చెప్పాలంటే - ఒకటి నుండి మొదలు పెట్టి 1,2,3.. అనుకుంటూ, అలా లెక్కపెట్టుకుంటూ పోతే నిర్విరామంగా వచ్చే సంఖ్యలని ‘సహజ సంఖ్యలు’ అంటారు. మరొక విధంగా చెప్పాలంటే, 1,2,3,4,5,6... అలా విసుగు, విరామం లేకుండా లెక్కపెట్టుకుంటూ పోతే వచ్చే అనుక్రమం (sequence) లోని సంఖ్యలే సహజ సంఖ్యలు(natural numbers).. ఈ సహజ సంఖ్యలనే లెక్కింపు సంఖ్యలు లేదా గణన సంఖ్యలు (counting numbers) అంటారు. వీటినే ముఖ్య సంఖ్యలు (cardinal numbers) అని కూఢా అంటారు. ఇంగ్లీషులో ‘కార్డినల్’ అంటే ‘ముఖ్యమైన’ అని అర్థం.
వరుస క్రమం(order) తెలియజేసేటప్పుడు ఒకటవ, రెండవ, మూడవ.. అని అంటాం కదా. అప్పుడు వీటిని క్రమ సంఖ్యలు (counting numbers అని కాని, ordinal numbers) అంటారు. ఛూశారా? దరిదాపు ఒకే భావానికి ఎన్ని పేర్లు ఉన్నాయో.
* * *
సున్న నుండి మొదలు పెట్టి అలా ముందుకి లెక్కపెట్టుకుంటూ పోతే నిర్విరామంగా వచ్చే 0,1,2,3.. వంటి ధన సంఖ్యలు, వెనక్కి పోతే వచ్చే -1, -2, -3... వంటి రుణ సంఖ్యలూ, అన్నింటిని కలిపి పూర్ణ సంఖ్యలు (integers) అని అంటారు. కనుక ... -3, -2, -1, 0, 1,2,3.. వగైరాలన్నీ ఫూర్ణ సంఖ్యలు లేదా పూర్ణాంకాలు. వీటిల్లో -1, -2, -3... వగైరాలు రుణ పూర్ణాంకాలు; సున్న (0) ని ధన పూర్ణాంకం అనడం ఆనవాయితీగా వస్తూన్న ఆచారం కనుక 0,1,2,3.. వగైరాలు ధన పూర్ణాంకాలు.
* * *
పూర్ణ సంఖ్యల తరువాత మనకి తరచుగా తారసపడేవి భిన్న సంఖ్యలు. తెలుగులో కాని, సంస్కృతంలో కాని ‘్భన్నం’ అంటే మామూలుగా కాకుండా మరొక విధంగా ఉండటం; అంటే, భిన్న సంఖ్యలు పూర్ణ సంఖ్యలలా కాకుండా మరొక రకమైన సంఖ్యలు అని చెబుతున్నామన్న మాట. వీటిని ఇంగ్లీషులో ‘ఫ్రేక్షన్’లు అంటారు; అంటే భాగాలు అని అర్థం. కానీ తెలుగులో భిన్నం అంటే భాగం అని అర్థం స్ఫురించదు. కనుక భిన్నం, ఫ్రేక్షన్ అన్న మాటలు భాషాపరంగా సమానార్థకాలు కాకపోయినా గణితపరంగా ఒకే భావాన్ని సూచిస్తాయి. సాధారణంగా వాడుకలో ఈ రెండు మాటలకి మధ్య తేడా సందర్భానుసారంగా మనకి అర్థం అయిపోతుంది.
కానీ శాస్త్రంలో మనం వాడే మాటలు నిర్దిష్టమైన అర్థంతో ఉండాలి. అంటే ఒక మాటకి ఒక కచ్చితమైన అర్థముండాలి. అందుకని గణితంలో ఈ రెండు మాటలకి బదులు రేషనల్ నంబర్స్ (rational numbers) అనే పదజాలం వాడతారు. ఇంగ్లీషులో రేషనల్ (rational) అంటే రెండు అర్థాలు ఉన్నాయి. ‘తర్కబద్ధమైన’ అని ఒక అర్థం, ‘నిష్పత్తికి సంబంధించిన’ అని రెండవ అర్థం. ఈ రెండవ అర్థానికి వ్యుత్పత్తి ఎలాగంటే - రేష్యో (ratio) అన్న నామవాచకం నుండి రేషనల్ (rational) అన్న విశేషణం వచ్చింది. కనుక రేషనల్ నంబర్ (rational number) అంటే నిష్పత్తి రూపంలో ఉన్న సంఖ్య. అందుకని గణిత శాస్తవ్రేత్తలు శాస్ర్తియంగా మాట్లాడేటప్పుడు ‘్భన్నం’ అనకుండా ‘నిష్ప సంఖ్య’ rational number) అంటారు. తార్కికంగా 1, 1/2, 2/3, 2/5, వగైరాలు అన్నీ నిష్ప సంఖ్యలే!
* * *
పూర్ణ సంఖ్యలు, నిష్ప సంఖ్యలు తరువాత వచ్చే భావాలు మన అనుభవ పరిధికి కొంచెం అతీతంగా ఉంటాయి. ఉదాహరణకి కొన్ని రకాల సంఖ్యలని ఇంగ్లీషులో ‘ఇర్రేషనల్’ (irrational) సంఖ్యలు అంటారు. ‘రేషనల్’ కానవి ‘ఇర్రేషనల్’. ఇక్కడ ఈ ‘రేషనల్’ అన్న మాట ‘రేష్యొ’(ratio) అన్న మాటకి సంబంధించినది కనుక ఒక నిష్పత్తి రూపంలో రాయగలిగే సంఖ్యలు నిష్ప సంఖ్యలు (rational numbers) . నిష్పత్తి రూపంలో రాయడానికి వీలుపడని సంఖ్యలు అనిష్ప సంఖ్యలు (irrational numbers).

ఒక చతురస్రంలో కర్ణం యొక్క పొడుగుని లెక్క కట్టాలంటే, భుజం పొడుగుని ఏ నిష్ప సంఖ్యతో గుణించినా సరి అయిన సమాధానం రాదని పైథోగరోస్ కనుక్కున్నాడు. ఇదే విషయం మరొక విధంగా చెపుతా. ఒక చతురస్రంలో కర్ణం పొడుగుకి, భుజం పొడుగుకి మధ్య ఉండే నిష్పత్తిని పూర్ణ సంఖ్యలని మాత్రమే ఉపయోగించి వ్యక్తపరచలేము. మన చతురస్రం యొక్క భుజం పొడుగు ఒక అంగుళం అనుకుంటే, కర్ణం పొడుగు అంటే 2 యొక్క వర్గమూలం లేదా square root of 2)అంగుళాలు అవుతుంది. కనుక Square root of 2 అనిష్ప సంఖ్యకి ఒక ఉదాహరణ. మనం ఎంత తపస్సు చేసినా ఈ సంఖ్యని రెండు పూర్ణ సంఖ్యల నిష్పత్తిలా రాయలేము. లేదా, దశాంశ భిన్నం రూపంలో రాస్తే Square root of 2 = = 1.4142135623730950488.. అనుకుంటూ ఎంత దూరం వెళ్లినా ఆంజనేయుడి తోకలా ఈ వరస ఆగదు.
ఒక్కొక్క బాహువు పొడుగు ఒక్కొక్క అంగుళం చొప్పున ఉన్న చతురస్రం యొక్క కర్ణం Square root of 2 అయినట్లే, ఒక్కొక్క బాహువు పొడుగు ఒక్కొక్క అంగుళం చొప్పున ఉన్న (సమబాహు) పంచభుజి(regular pentagon) యొక్క కర్ణం కూఢా అనిష్ప సంఖ్యే. దీనిని ముద్దుగా ‘సువర్ణ సంఖ్య’ అని కాని సువర్ణ నిష్పత్తి (golden ratio) అని కాని ఫిలుస్తారు. దీని విలువ(1+Square root of 5)/2 ఇలా చెప్పుకుంటూ పోతే అనిష్ప సంఖ్యలకి ఉదాహరణలు కొల్లలుగా దొరుకుతాయి.
తెలుగు అకాడెమీ వారి నిఘంటువులో రేషనల్ నంబర్స్ అన్న మాటకి ‘అకరణీయ సంఖ్యలు’ అన్నిన్నీ, ఇర్రేషనల్ నంబర్స్‌కి ‘కరణీయ సంఖ్యలు’ అనిన్నీ తెలుగు అనువాదాలు ఇచ్చేరు. మన దేశ భాషలలో ‘అ’ అనే పూర్వ ప్రత్యయం ‘కాదు’ అనే అర్థాన్ని ఇస్తుంది కనుక ‘అకరణీయ’ అనే మాట చూడగానే అది irrational కి తెలుగేమో అనిపిస్తుంది. ఈ పేర్లు స్వయంబోధకాలుగా లేవు కాబట్టి నాకు నచ్చలేదు. ‘అకరణీయ సంఖ్యలు’ అంటే కరణీయం కానివి అనే కదా? అనగా ‘ఇర్రేషనల్ కానివి రేషనల్’ అనే తిరకాసు నిర్వచనం వచ్చింది. సత్యవంతుడు ఎవరయ్యా అంటే ‘అబద్ధాలు చెప్పని వాడు’ అంటే బాగుంటుందా ‘నిజం చెప్పేవాడు’ అంటే బాగుంటుందా? ఆలోచించండి. ఎందుకైనా మంచిదని నా దగ్గర ఉన్న నిఘంటువులని సంప్రదించేను. శబ్ద రత్నాకరంలో కరణి అంటే విధము అనిన్నీ కరణీయము అంటే చేయదగినది అనిన్నీ అర్థాలు ఉన్నాయి. గ్విన్ నిఘంటువులో కరణి అంటే manner, mode, way అని ఉంది. కనుక గణితంలో ‘కరణీయ సంఖ్య’కి మూలం ఏమిటో తెలియలేదు. అందుకనే రేషనల్ నంబర్‌ని నిష్ప సంఖ్య అనిన్నీ ఇర్రేషనల్ నంబర్‌ని అనిష్ప సంఖ్య అనిన్నీ తెలిగించేను.