బీజ గణితం ధర్మమా అని మనకి లభించిన సంఖ్యలలో మరొక జాతివి సంశ్లిష్ట సంఖ్యలు (complex numbers). ఇక్కడ నేను వాడిన మాట ‘సంశ్లిష్ట’ అని గమనించండి; ఇది క్లిష్ట కాదు, సంక్లిష్ట కాదు. ‘క్లిష్ట’ అంటే కష్టమైనది అని కానీ, గజిబిజిగా ఉన్నదని కానీ అర్థం. ‘సంశ్లిష్ట’ అన్న మాట complex కి సమానార్థకం ఎలా అయిందో సోదాహరణంగా చూపిస్తాను. వ్యాకరణంలో ‘సరళ వాక్యం’ అనే దానిని simple sentence అనిన్నీ, ‘సంశ్లిష్ట వాక్యం’ అన్న దానిని complex sentence అనీ అంటారు. ఒకే ఒక సమాపక క్రియ(finite verb) తో కూడిన వాక్యం సరళ వాక్యం లేదా సామాన్య వాక్యం. ఒక సమాపక క్రియతో పాటు ఒకటి కానీ అంతకంటె ఎక్కువ ఆనీ అసమాపక క్రియలు (non-finite verb) ఉన్న వాక్యం ‘సంశ్లిష్ట వాక్యం’.
వ్యాకరణంలో సమాపక క్రియలు, అసమాపక క్రియలు ఉన్నట్లే, గణితంలో రెండు జాతుల సంఖ్యలు ఉన్నాయి. వీటికి తెలుగులో పేర్లు లేవు కనుక ప్రస్తుతానికి ‘సమాపక సంఖ్యలు’, ‘అసమాపక సంఖ్యలు’ అని అందాకా పేర్లు పెట్టి వాటి లక్షణాలని నిర్వచిద్దాం. ఒక కాగితం మీద ఎడమ (పడమర) నుండి కుడి (తూర్పు)కి, అడ్డుగా ఒక సరళరేఖ గీద్దాం. ఈ గీతకి తూప (తూర్పు - పడమర) అక్షం అని పేరు పెడదాం. ఈ గీతకి మధ్యలో ఒక చిన్న గాటు పెట్టి ఆ గాటుకి 0 (సున్న) అని పేరు పెడదాం. ఇప్పుడు ఈ సున్న నుండి కుడికి ధన సంఖ్యలూ, ఎడమకి ఋణ సంఖ్యలూ, ఎంత దూరంలో కావలిస్తే అంత దూరంలో కొలిచి పెట్టవచ్చు. ఉదాహరణకి 1,2,3 ... అంగుళాల దూరంలో, కాకపోతే 1/2, 2/3, 5/7... అంగుళాల దూరంలో, కాకపోతే పై2, పై3 అంగుళాల దూరంలో చుక్కలు పెట్టగలం. అదే విధంగా మన సున్నకి ఎడమ పక్క -1, -2, -3, -1/2, -2/3, -5/7, -పై2, -పై3.. అంగుళాల దూరంలో చుక్కలు పెట్టవచ్చు. అంటే ఏమిటన్న మాట? ఎడం నుండి కుడికి గీసిన గీత మీద పూర్ణ సంఖ్యలకీ, నిష్ప సంఖ్యలకీ, అనిష్ప సంఖ్యలకీ స్థావరం కల్పించవచ్చు. ఈ సంఖ్యలన్ని తూప అక్షం మీద ఉన్నాయి కనుక వీటన్నిటిని కలగలిపి ‘తూప సంఖ్యలు’ అందాం. ఇవే నేను ‘అందాకా’ అంటూ పేరు పెట్టిన సమాపక సంఖ్యలు.
ఇప్పుడు మన తూప అక్షం మధ్యలో ఉన్న సున్న దగ్గర, దక్షిణం నుండి ఉత్తరానికి వెళ్లే దిశలో, తూప అక్షాన్ని ఖండిస్తూ, మరొక సరళరేఖ గీద్దాం. దీనిని ‘ఉద అక్షం’ (ఉత్తర-దక్షిణ) అందాం. తూప అక్షం మీద 1,2,3, 1/2, 2/3, 5/7, -1, -1, -3, -1/2, -2/3, వగైరా సంఖ్యలని ఎలా గుర్తించగలిగేమో అదే విధంగా ఉద అక్షం మీద కూడ చెయ్యగలం. వీటినే ‘అసమాపక సంఖ్యలు’ అనమన్నాను.
ఇంగ్లీషులో మన తూప అక్షాన్ని real axis అనీ ఉద అక్షాన్ని imaginary axis అనీ అంటారు. తూఫ అక్షం ఎంత నిజమో, ఉద అక్షం కూడ అంతే నిజం. తూప అక్షానికి ఎంత అస్తిత్వం ఉందో, ఉద అక్షానికీ అంతే అస్తిత్వం ఉంది. తెలుగుని ఎడమ నుండి కుడికి రాస్తున్నాము కనుక ఇది real language, ఉర్దూని కుఢి నుండి ఎడమకి రాస్తున్నాము కనుక దానిని imaginary language అనీ అంటున్నామా? లేధే! ఏ భాష అస్తిత్వం దానిదే. కాని తెలుగు, ఉర్దూ కలిపి మాట్లాడే హైదరాబాదీ ఏ భాష అవుతుంది? అది సంశ్లిష్ట భాష అవుతుంది.
ఇదే విధంగా తూప అక్షం మీద సంఖ్య మనం మూల స్థానం నుండి కుడికో, ఎడమకో ఎంత దూరం జరిగేమో చెబుతుంది. ఉద అక్షం మీద ఉన్న సంఖ్య మనం ఉత్తరానికో దక్షిణానికో ఎంత దూరం జరిగామో చెబుతుంది. మనం తూర్పుకి 2 అడుగులు, ఉత్తరానికి 3 అడుగులు వేస్తే ఆ విషయం చెప్పటానికి (2,3) అని రాయొచ్చు. ఇలా రాసినప్పుడు ఈ సంఖ్యని ‘సంశ్లిష్ట సంఖ్య’ అని కానీ, ‘జంట సంఖ్య’ అని కానీ అంటారు. మరొక విధంగా చెప్పాలంటే తూప సంఖ్యలని ఒక సరళ రేఖ (straight line) మీధ బిందువులుగా ఊహించుకోవచ్చు. సంశ్లిష్ట సంఖ్యలని ఒక సరళ గీత (plane) బిందువులుగా ఊహించుకోవచ్చు.
గమనించవలసిన విషయం ఏమిటంటే, ఇంగ్లీషులో ఉన్న odd numbers, real numbers, imaginary numbers అన్న ఫేర్లకి అర్థంపర్థం లేదు. ఏదో, ఎవరో పెట్టేరు. వాటిని మనం ‘వింత సంఖ్యలు’, ‘వాస్తవ సంఖ్యలు’ ‘కల్పిత సంఖ్యలు’ అని తెలుగులోకి దింపేసుకోనక్కరలేదు. సరి సంఖ్యలలో లేని వింత బేసి సంఖ్యలలో లేదు. నేతిబీరకాయలో ఎంత నెయ్యి ఉందో వాస్తవ సంఖ్యలలో అంతే వాస్తవం ఉంది. తూర్పుకి వెళ్లటంలో లేని కల్పితం ఉత్తరానికి వెళితే ఎక్కడ నుండి వచ్చింది? ఏదో, పబ్బం గడవటానికి ఇంగ్లీషు వాళ్లు ఏవో పేర్లు పెట్టుకున్నారు. వాటిని చూసి తెలుగులో ‘వొకేబ్యులరీ’ లేదని వాతలు పెట్టుకుని ఏం లాభం?
ఇది సంశ్లిష్ట సంఖ్యలకి అతి సులభమైన ఉపోద్ఘాతం. సంశ్లిష్ట సంఖ్యల లక్షణాలు చాల విచిత్రంగా ఉంటాయి. గణితంలోను, భౌతిక శాస్త్రంలోను, అనేక సాంకేతిక రంగాలలోను సంశ్లిష్ట సంఖ్యలతో నిత్యం పని ఉంటుంది; ఇవి లేకుండా రోజు గడవదు.